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2008年4月12日 (土)

ゼノンのパラドックス

ゼノンのパラドックスは、エレア派のゼノンの考えたパラドックスで、パルメニデスの「感覚は全て疑わしいものである」こと、特に「一があるのであって多があるのではない、多があるとすれば運動は不可能である」という学説を、ピュタゴラス派の多を主張する立場を批判して唱えたものであった。

今日、ゼノンのパラドックスと呼ばれるものは、アリストテレスの「自然学」とそのシンプリキウスによる注釈の中に八つ伝わっている。そのうちのいくつかは、本質的に同じ問題を取り扱ったものである。ウィキペディア(Wikipedia)より

これらの結果は非現実的であるが、結果を導く論証は一見したところ正しいように見える。その論証の誤りを指摘するのは簡単ではなく、それゆえ多くの哲学者達がこの問題に挑むこととなった。しかし、ゼノンの意図としては、世界が不可分な要素的な点やアトムからなるとすれば、運動は背理となることを示そうとしたもので、もちろん、運動自体を否定する意図はなかった。

[二分法]
地点Aから地点B0へ移動するためには、まずAからの距離がAB0間の距離の半分の地点B1に到達しなければならない。さらにAからB1へ移動するためには、Aからの距離がAB1間の距離の半分の地点B2に到達しなければならない。以下、このような事が無限に続くため地点Aから地点B0へ移動しようとしても移動を開始することすら不可能である。

[アキレウスと亀]
あるところにアキレウスと亀がいて、二人は徒競走をすることとなった。しかしアキレウスの方が足が速いのは明らか(注:イリアスにおいてアキレウスの枕詞の一つは「駿足の」である)なので亀がハンデをもらって、いくらか進んだ地点(地点 A とする)からスタートすることとなった。

スタート後、アキレウスが地点 A に達した時には亀はアキレウスがそこに達するまでの時間分先に進んでいる(地点 B)。アキレウスが今度は地点 B に達したときには亀はまたその時間分先へ進む(地点 C)。同様にアキレウスが地点 C の時には亀はさらにその先にいることになる。この考えはいくらでも続けることができ、結果、いつまでたってもアキレウスは亀に追いつけないことになる。

[飛んでいる矢は止まっている]
これは物体の運動に関するものである。矢が飛んでいる様子を考えよう。ある瞬間には、矢はある場所に位置している。僅かな時間だけに区切って見れば、矢はやはり少ししか移動しない。この時間をどんどん短くすれば、矢は動くだけの時間がないから、その瞬間だけは同じ場所に留まっているであろう。次の瞬間にも、同じ理由でやはりまた同じ場所に留まっているはずである。こうして矢は、どの瞬間にも同じ場所から動くことはできず、ずっと同じ場所に留まらなくてはならない。従って、飛んでいる矢は止まっている 。

[競技場]
競技場において、一瞬間の間に一単位の距離を移動することができる二台の馬車を考える。

 □□□□  観客席
 ■■■■  馬車・・・移動方向は右(→)
 ▲▲▲▲  馬車・・・移動方向は左(←)
それぞれの馬車が移動を開始し、次のように客席に対して一単位移動したとする。

 □□□□
  ■■■■
▲▲▲▲
このとき、いずれかの馬車に対し、もう一方の馬車がどれだけ移動したかを観察すると、二単位移動していることがわかる。すなわち馬車は一瞬間のうちに一単位移動しようとすれば、二単位移動しなければならないことになりこれは不可能である。したがって、馬車の運動は不可能である。

[数学的な解釈]
これらのパラドックスを解決するためには、何を前提とした議論なのか?を考える必要がある。パラドックスのいくつかは無限という概念に関係しているが、数学においても無限について厳密に取り扱えるようになるのは近世以降のことである。

ピタゴラス学派が無理数を発見した時、例えば

√2 ≒ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209…
は、1以上2以下という有限な区間に含まれるが、有限な区間にこれといった法則も無く(整数や分数では表せない)無限に続く数が存在できるのは何故か?という問いに対する答えを見つけられずピタゴラス学派では、無理数を禁忌としている。

17世紀以降に発展した微分積分学、とくにその中の級数(無限級数)や極限の概念を前提とするならば、アキレウスと亀の問題は、「考えをいくらでも続けることができる」ということから「いつまでたっても追いつけない」という結論を導いている箇所に飛躍がある。

有限の項を無限に 集めた級数の和は有限におさまることがあり得る。アキレウスが前に亀のいた場所にたどりつくまでの時間は何度繰り返しても有限だが、これらを全て足し合わせてもやはり有限の時間しか経過しないこともあり得るのである。そしてそれはアキレウスが亀を追い越すのに要する時間である。たとえばアキレスの速さを秒速10m、亀の速さを秒速1m、亀はアキレスの100m前方にいるものとする。このときアキレスが亀に追いつくまでの時間は、100/9秒と計算される。

ただし級数や極限を用いた数学的な解釈も、ゼノンのパラドックスにおける前提を正確に反映しているかどうかは定かではない。有限を、無限の回数の加算の結果と「みなしうる」という独自の前提を定めて、アキレスのほうが亀よりも速い(級数が収束する)からアキレウスは亀に有限時間内に追いつけるとしているだけであり、ゼノンのパラドックスに対する反論に都合のよい前提を持ってきただけとも言えるため、数学における極限の概念を持ちだしただけではゼノンのパラドックスを解決したことにはならない。 数学上の概念によって説明される場合には、数や連続性や極限、無限の概念などにいくつかの仮定を用いているが、パラドックスの指している状況と数学モデルの置いている仮定が同一のことなのかということが哲学的な議論の対象になる。 たとえば無限回の加法と自然言語で記述されていても、それが有限加法性のことなのか完全加法性のことなのかは自明ではない。 数学的な解釈がゼノンのパラドックスについて示唆してくれることは、ゼノンのパラドックスがパラドックスでなくなるような視点がある数学モデルにより得られるということであり、その数学モデルはニュートン力学と親和性が高いものであるということである。

[哲学的な観点から]
哲学的には、数学的な前提に立った場合のように、このパラドックスは「間違っている」とは見なされない。極限や収束をどう理解するかということ、とくに、仮に、有限を、無限の回数の加算の結果と「みなしうる」ということから、現に、そうした無限個の「加算されたもの」から「構成されている」といっていいかどうかが、このパラドックスでは問題になる。

つまり、たしかにパラドックスの結論は不合理なもののように見えるが、それは不連続な複数の単位から構成される連続という(原子論者の考えたような「多」の立場)を前提にすると不条理に陥る、ゆえにこの「多」という仮定が間違っており、連続は「一」が基底的な属性であって、より基底的な「多」から「一」が構成されているとはいえない、という背理法の論法なのである。

それが無限に切り分けられるということと、無限に足し合わせられたものからなっている、ということは、一見同じことのように見えるが違う。そして、現実の運動や連続について、前者は言えるが、後者はいえない。

線を無限に分割して、無限にたくさんの点を見出すことができるということから、線が無限にたくさんの点からなっているとはいえない。ゼノンやエレア派的にいえば、無をいくら足しても有にはならない。有がある以上、どこかに有の起源が無ければならない。長さゼロの点から長さ一の線を作る事は出来ない。ゼロをいくら加算しても一にはならない。しかし、線と線の交点として点を定義する事は出来る。

これは不動の矢のパラドックスにおいてより根本的に現れており、いわゆるこの動かない動く矢は、あくまでも運動の或る瞬間の概念的切片であって、現実に特定の瞬間に特定の位置を占めているそうした要素的断片が実在的に「存在」し、その加算として運動があるわけではない。連続がまずあって、それを切片に切って把握することができるのであって、要素的な断片がまずあって、それが合わさって連続が構成されているのではない。(ピュタゴラス派的「数字」や「点」の議論)運動という連続は「多」からなっているわけではない。

さらにいえば、パラパラマンガやアニメのようなものとして、現実の連続性を理解することはできない、ということが、このパラドックスの、そしてエレア派の問題にしていることなのである。

[思想史]
アリストテレスは、無限にあるものが現勢的でなく可能的にあるのだとすれば、それらを通過し尽くすことは可能であるとしている。

レオナルド・ダ・ヴィンチは、「点とはありうるかぎりのものよりさらに小さいものであり、線はその点の運動によって作られる。線の極限は点である。次に面は線の運動から生れ、そしてその極限は線である。立体は(面積の)運動によって作られる。(そしてその極限は面である)(「手記」)」と語っている。

スピノザは、持続が瞬間から成るとの主張は、悟性によって把握される不可分な無限の量、表象能力によって把握される可分的な有限の量の両者が区別されないことに基づくものと指摘している。

ヘーゲルは、ゼノンの議論を認めた上、そこから帰結するのは、運動が存在しないということでなく、運動は定有する矛盾であるということであるとしている。

ベルグソンは、ゼノンの議論は、時間や運動を空間に翻訳するものとした上、運動そのものは持続であって分割不能であるとしている。

量子力学では、放射性崩壊を起こす可能性のあるはずの不安定な原子核は、完全に連続した観測の下では崩壊を起こさない。このことは(ゼノンの議論と直接の関係はないものの)量子力学的ゼノンのパラドックスと呼ばれている。

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